解题研究综述 | 数学解题研究30年（中）

“怎样解题”是数学教师思考的两大问题之一(另一个是“怎样教学”)，也是数学教育研究的基本课题之一．

为帮助青年数学教师了解我国数学解题研究进展，“少走弯路”，“站在前人的肩膀上前进”，我们推荐几篇解题研究综述文章．

本期推荐罗增儒、罗新兵老师的文章《数学解题研究30年》（1977-2008）（中），该文发表在《湖南教育(下半月版)》2009年第1期．

五、竞赛数学的学科建设

1．数学竞赛推动解题研究．数学竞赛也是一种解题竞赛，这种活动的开展一方面为初等数学源源输入具有大学性质的、体现现代数学的思维方式，另方面又调动和活化了初等数学潜在的方法与技巧．这两方面的结合，就为解题研究提供了新的内容、新的方法、新的视野．

数学竞赛里充满着眼花缭乱的“技巧”：构造、对应、递推、区分、染色、极端、对称、配对、特殊化、一般化、数字化、有序化、不变量、整体处理、变换还原、逐步调整、奇偶分析、优化假设、计算两次、辅助图表……．值得注意的是，这些“技巧”不是各别孤立的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，而是一种高思维层次、高智力水平的策略思想．这一切，又为解题研究提供了新鲜而丰富的素材．

数学竞赛所造就的教练员队伍，基本上都是一些出类拔萃的解题专家或炉火纯青的技巧大师，这是解题研究的一支生力军．

就是说，数学竞赛的内容、方法和队伍正以排山倒海之势推动解题研究的发展（也推动初等数学研究的发展）．中国中学生在国际数学奥林匹克（IMO）中的成绩与优势，从一个侧面反映了我国解题研究的兴旺发达．

2．形成一个数学新层面．国际数学奥林匹克竞赛（1959～）经过40多年的发展，基本内容和基本方法都有了充分的积累，已经形成一个教育数学的新层面——竞赛数学（又称奥林匹克数学，应该属于教育数学的一支）．这是带有教育目的、具有教育功能的数学，包括几何、代数、数论、组合四大支柱和组合几何、组合数论、集合分拆三大热点．“数学竞赛学”的建设也早就提到议事日程，并取得阶段成果．这方面的书籍主要有:单墫《数学竞赛研究教程》（1993），陈传理、张同君《竞赛数学教程》（1996），朱华伟《奥林匹克数学教程》（1996），刘培杰《数学奥林匹克与数学文化》（2006）．笔者《数学竞赛教程》（1993）的相关工作《“奥林匹克数学”学科建设》曾获普通高等学校优秀教学成果省级一等奖、国家级二等奖（1993）．

六、数学思维的研究

数学思维问题是数学教育的核心问题．斯托利亚尔在《数学教育学》（1984，人民教育出版社）一书中指出：数学教学是数学（思维）活动的教学．他在列举数学教育目的时，把发展学生的数学思维放在第一位．

，“思维科学”在我国已经发展为一门独立的学科，它给数学思维的研究提供了方向性的启示．1985年，全国“数学教学研究会”发起成立了“思维与数学教学”专题协作组，并于同年在广州召开了学术讨论会．此后，关于数学思维的模式，数学非逻辑思维（包括形象思维、直觉思维），数学思维品质的培养（如广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性等）等方面的研究，正在揭示数学发现的秘密，同时，也为解题能力的提高指明了途径．这不仅深化了数学解题的研究，而且也促进了解题教学的发展．这方面的书籍主要有陈振萱等《中学数学思维方法》（1988）、陈振宣《培养数学思维能力的探索》（1998），张乃达《数学思维教育学》（1990），任樟辉《数学思维论》（1990），王建吾《数学思维方法引论》（1996），郭思乐、喻纬《数学思维教育论》（1997）等．

七、解题策略的研究

策略是指导行动的方针(是战略性的)，同时也是增强效果、提高效率的艺术，它区别于具体的途径或方式(只是战术性的)．数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针．解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑是不够的．所以，这方面的工作与数学思维的研究（于20世纪80年代中期）同时起步、平行发展．

注重解题策略的研究已经构成中国解题教学的一个特色，它可以看成是对波利亚现代启发性解题策略研究的继承与发展，徐利治教授提出的RMI原理是这方面工作的杰出代表．在戴再平著《数学习题理论》中列举了8条解题策略:枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反，在任樟辉著《数学思维论》里又列举了10条解题策略:模式识别、变换映射、差异消减、数形结合、进退互用、分合相辅、动静转换、正反沟通、引辅增效、以美启真，笔者的《数学解题学引论》也提出了十条解题策略：模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转化、数形结合、有效增设、以美启真．有些策略思想，如化归、RMI原理、以退求进、正难则反等还讨论得很深入、很细致，也很有数学特征，而不仅仅是“逻辑+数学例子”．

八、初等数学的研究

1．重视高观点下的初等数学，在中国是有传统的，华罗庚教授身体力行（见《华罗庚科普著作选集》1984，上海教育出版社），并带动了他的众多弟子，1964年，北京数学会组织了一套“数学小丛书”（人民教育出版社，1979年重印），，以中学数学为基本内容的中国解题研究，逐渐把初等数学的学术研究推向高潮，1991年8月在天津召开首届“全国初等数学学术交流会”是一个重要的标志．之后，若干省市相继成立了初等数学研究会，多家刊物开辟了初等数学研究新成果专栏，多本初等数学研究著作陆续出版．研究初等数学已经成为许多数学家和数学教育家们共同关心的一大课题，更是广大中学教师专业发展的一个广阔空间．

2．目前初等数学研究主要集中在3个方面．其一是继续搜寻初等数学的新结论，为初等数学的理论宝库增添新的资源；其二是阐发现代数学与初等数学的联系，为现代数学的发展提供深刻的背景；其三是既作为解题理论提炼的基本素材，又作为解题理论检测的实验园地．这三方面的工作，使得解题研究不再是一株只开花不结果的绿树．2006年“第6届初等数学学术交流会”纪要指出：会议论文的内容广泛而深刻，涉及“组合数学、数阵、分形几何、数论、不等式、绝对值方程、递归数列、平面几何、一般折线、立体几何、函数论、数学竞赛试题研究等等，取得了很多成果，包括一些深刻的和创新性的成果．”其中，不等式、绝对值方程、映射数列、数阵和一般折线是“初等数学学术交流会”重点关注的课题．

记录初等数学研究成果的书籍主要有：杨世明主编《中国初等数学研究文集》（1992），李炯生、黄国勋主编《中国初等数学研究》（1991），杨之《初等数学研究的问题与课题》（1993），陈计、叶中豪主编《初等数学前沿》（1996）等．

九、教育数学的研究

1．“教育数学”是张景中院士首先提出的一个新概念（数学教师，1989年第2期，署名井中），它的任务是：为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造；承担这一任务的是教育数学家．欧几里得的《几何原本》、希尔伯特的《几何基础》、柯西的《分析教程》、布尔巴基的《数学原理》等都是教育数学．在中国数学解题的历史上，优质小丛书的创作、“初等数学”的研究、竞赛数学与高考数学的构建等，都是“教育数学”的组成部分． 

2．从解题的角度来看，张景中院士首先解决了三个问题：基于面积的平面几何解法（还发现了几何定理机器证明的消点算法）,极限概念的非ε语言定义法，实数理论中的连续归纳法，然后在这些成果的基础上，创立了两门新结构的课程：平面几何新路（中学教材）、非ε语言数学分析（大学教材）．如果说一般性的解题研究，更着眼于一道道题的话，那么，“教育数学”则已经着眼于新课程体系的建设了，在这里有“更简单的逻辑结构，更有力的解题方法，更平易近人的数学概念”（张景中《教育数学探索》，1994）；如果说，面对学生数学学习的困难有人用“学少一些、学浅一些”来解决的话，那么，“教育数学”则着眼于提供“新的结构、新的方法、新的体系”,使学习更容易而又更丰富．

2004年5月，“中国高等教育学会教育数学专业委员会”在广州大学成立，标志着教育数学的研究进入一个新阶段．教育数学研究的发展，由于给数学教育注入了“数学上的创造”，将提高数学解题的层次并改变数学解题研究的格局．